碎碎念
2026.1的摸鱼！（押一个高考题）
撰于
封面为智永《真草千字文》
已知函数
，记
。
另设函数
，其中
为常数。
（1）求证：
，并求
的最大值
（2）当
时，求函数
的极小值
（3）若
是任意两个不相等的实数，求证：
参考解法
（1）已知
，对
求导得
得证
令
，
则
则
可化为关于
的二次函数
当
时，
取得最大值
由
得
当
时，
取得最大值
（2）对函数
求导
令
，即
解得
- 当
时：函数
单调递减
，函数
单调递减 - 当
时：同理可得
，函数
单调递增
在
处取得极小值
极小值为
（3）不妨设
原不等式等价于证明
① 先证右边：
即证
构造函数
求导得
由第（1）问可知，
，且仅当
时取等号
对任意
，都有
，且
不恒等于 0
在
上单调递减
，
即
，移项得
② 再证左边：
即证
构造函数
求导得
在
上单调递增
，
即
移项得：
综合
与
得
即
得证